СИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
SIBIRSKII MATEMATICHESKII ZHURNAL


Том 58 (2017), Номер 4, с. 916-924

Романов В. Г.
Задача об определении коэффициента диэлектрической проницаемости по модулю рассеянного электромагнитного поля

Рассматривается стационарная система уравнений электродинамики, которая соответствует немагнитной непроводящей среде. Для этой системы изучается задача об определении коэффициента диэлектрической проницаемости $\epsilon$ по заданным векторам электрической или магнитной напряженности электромагнитного поля. Предполагается, что поле вызывается точечным импульсным диполем, локализованным в некоторой точке $y$. Предполагается также, что диэлектрическая проницаемость отлична от заданной положительной постоянной $\epsilon_0$ только внутри некоторой компактной области $\Omega \subset \mathbb R^3$ с гладкой границей $S$. Для отыскания $\epsilon$ внутри $\Omega$ задается информация о решении соответствующей прямой задачи для системы уравнений электродинамики на всей границе области $\Omega$ для всех частот, начиная с некоторой фиксированной частоты $\omega_0$, и для всех $y \in S$. Изучается асимптотика решения прямой задачи при больших частотах и показывается, что задаваемая информация позволяет свести исходную задачу к хорошо известной обратной кинематической задаче об определении коэффициента рефракции внутри $\Omega$ по временам пробега электромагнитной волны между произвольными точками границы области $\Omega$. Это приводит к теореме единственности решения рассматриваемой задачи и открывает путь для ее конструктивного решения.

V. G. Romanov
The problem of recovering the permittivity coefficient from the modulus of the scattered electromagnetic field

Under consideration is the stationary system of equations of electrodynamics relating to a nonmagnetic nonconducting medium. We study the problem of recovering the permittivity coefficient $\epsilon$ from given vectors of electric or magnetic intensities of the electromagnetic field. It is assumed that the field is generated by a point impulsive dipole located at some point $y$. It is also assumed that the permittivity differs from a given constant $\epsilon_0$ only inside some compact domain $\Omega \subset \mathbb R^3$ with smooth boundary $S$. To recover $\epsilon$ inside $\Omega$, we use the information on a solution to the corresponding direct problem for the system of equations of electrodynamics on the whole boundary of $\Omega$ for all frequencies from some fixed frequency $\omega_0$ on and for all $y \in S$. The asymptotics of a solution to the direct problem for large frequencies is studied and it is demonstrated that this information allows us to reduce the initial problem to the well-known inverse kinematic problem of recovering the refraction index inside $\Omega$ with given travel times of electromagnetic waves between two arbitrary points on the boundary of $\Omega$. This allows us to state uniqueness theorem for solutions to the problem in question and opens up a way of its constructive solution.

DOI 10.17377/smzh.2017.58.417
Ключевые слова: стационарные уравнения электродинамики, безфазовая обратная задача, единственность, метод построения решения.

Полный текст статьи / Full texts:

Адрес редакции:
пр. Коптюга, 4,
Новосибирск 630090
Телефон: (383-2) 333-493
E-mail: smz@math.nsc.ru