О $TI$-подгруппах в линейных группах

Зюляркина Н.Д.


Пусть $A$ --- $TI$-подгруппа группы $G$, являющаяся 2-группой. Тогда
$A$ называется $TI$-подгруппой корневого типа если для любого $g\in G$
условие \\ $N_{A^g}(A)\neq 1$ влечет $N_{A^g}(A)=A^g$. В противном
случае $A$
называется подгруппой некорневого типа.
В дальнейшем будем считать, что
$G=XA$, где $X=F^{*}(G)$,
$A$ --- циклическая $TI$-подгруппа
порядка 4 в $G$, не лежащая в $Z(F^{*}(G))$.
Через $a_{0}$ обозначим инволюцию
из $A$.
{\bf ТЕОРЕМА.} {\em Пусть $X$ --- накрывающая группа для $L_{n}(q)$,
$n\geq 2$. Тогда $G$ содержит подгруппу $A$ некорневого типа, если
$X$ --- накрывающая группа для $L_{2}(9)$, $G=X$ и $|Z(X)|=3$,
или $X$ --- частное $SL_{n}(q)$, $n\geq 2$, по
центральной подгруппе
порядка $d$, и имеет место один из следующих случаев:
для нечетного $n$:
(1) $X\simeq L_{3}(3)$, или $X\simeq L_{3}(7)$, $G=X\langle \tau \rangle $,
где $\tau $ --- автоморфизм графа, $a_{0}$ соответствует инволюции типа $2$
из $X$.
для четного $n$:
(2) $X=L_{2}(9)$, элемент $a$ индуцирует на $X$ внутренне-полевой
автоморфизм,
$a_{0}$
соответствует полуинволюции типа $1$ из $SL_{2}(9)$.
(3) $q-1\equiv 0(4)$, $n>4$, $a_{0}$
соответствует
инволюции типа $n/2$ из $SL_{n}(q)$.
(4) $q+1\equiv 0(4),\mbox{ } d$ четно,
$a_{0}$ соответствует полуинволюции типа $0$ из $SL_{n}(q)$.