Классификация тождеств, влекущих модулярность, в решетках многообразий нильполугрупп

Верников Б.М.


Пусть {\bf L} --- произвольное многообразие модулярных решеток.
Результаты работы [1] и их доказательства сводят задачу описания
многообразий полугрупп $\cal V$ со свойством $L(\cal V)\in$ {\bf L} к
двум случаям: многообразиям полугрупп с вполне регулярным квадратом и
многообразиям нильполугрупп. Существенная информация о первом случае
получена в [2]. Применительно к многообразиям нильполугрупп, две
экстремальные возможности для {\bf L}, а именно, случаи, когда
{\bf L} --- либо многообразие {\bf Mod} всех модулярных решеток, либо
многообразие {\bf Dis} всех дистрибутивных решеток, были рассмотрены
в [3] и [4], соответственно. Стремясь к ``тонкой'' классификации
многообразий нильполугрупп с модулярной решеткой подмногообразий с
точки зрения решеточных тождеств, введем естественное отношение
эквивалентности $\mu$ на множестве всех нетривиальных многообразий
модулярных решеток, полагая {\bf L}$_1\ \mu$ {\bf L}$_2$ если, для
произвольного многообразия нильполугрупп ${\cal N}$, $L(\cal N)\in$
{\bf L}$_1$ тогда и только тогда, когда $L(\cal N)\in$ {\bf L}$_2$.
Обозначим через {\bf M}$_k$ многообразие решеток, порожденное
решеткой, состоящей из 0, 1 и $k$ атомов, а через {\bf M}$_{k,n}$
многообразие решеток, порожденное решеткой, состоящей из 0, 1, $k$
атомов $a_1,\ldots,a_k$ и $n$ коатомов $c_1,\ldots,c_n$ таких, что
$a_i\vee a_j=c_1$ для $i,j=1,\ldots,k$, $i\ne j$ и $c_i\wedge c_j=
a_k$ для $i,j=1,\ldots,n$, $i\ne j$.
\medskip
{\bf Теорема 1.} {\em Следующие шесть классов многообразий модулярных
решеток и только они являются\/ $\mu$-классами:\/ \{{\bf Dis}\};\
\{{\bf M}$_3$\};\ \{{\bf L}~$|$ {\bf M}$_4\subseteq$ {\bf L}, но\/
{\bf M}$_{3,3}\not\subseteq$ {\bf L}\};\ \{{\bf L}~$|$ {\bf M}$_{3,3}
\subseteq$ {\bf L}, но\/ {\bf M}$_4\not\subseteq$ {\bf L}\};\ \{{\bf
L}~$|$ {\bf M}$_{3,3}$, {\bf M}$_4\subseteq$ {\bf L}, но\/} {\bf
M}$_{4,3} \not\subseteq$ {\bf L}\};\ \{{\bf L}~$|$ {\bf M}$_{4,3}
\subseteq$ {\bf L}\}.
\medskip
Эта теорема, вместе с результатами работ [1,2] и их доказательствами,
влечет следующий результат.
\medskip
{\bf Теорема 2.} {\em Пусть $\cal V$ --- многообразие полугрупп.
Решетка\/ $L(\cal V)$ модулярна тогда и только тогда, когда она
дезаргова}.
\medskip
\small
\centerline{\bf Литература}
\smallskip
\noindent[1] М. В. Волков. {\em Многообразия полугрупп с модулярной
решеткой подмногообразий},~I, II, III. --- {\sf Изв.\ вузов. Матем.}
1989. N6. С.48--58; 1992. N7. С.3--8; 1992. N8. С.21--29.
\noindent[2] M. V. Volkov and T. A. Ershova, {\em The lattice of
varieties of semigroups with completely regular square}.~I, II. ---
{\sf Monash Conf.\ on Semigroup Theory in honour of G~B~Preston}.
World Scientific, Singapore. 1991. P.306--322; {\sf Semigroup Forum},
submitted.
\noindent[3] М. В. Волков. {\em Многообразия полугрупп с модулярной
решеткой подмногообразий}. --- {\sf Докл.\ Акад.\ наук} (Россия).
1992. Т.{\bf326}, N4. С.409--413.
\noindent[4] M. V. Volkov, {\em Semigroup varieties with commuting
fully invariant congruences on free objects}. --- {\sf Contemp.\
Math.} 1992. Vol.{\bf131}, part~3. P.295--316.