Критические теории многобразий нильпотентных и разрешимых групп

Важенин Ю.М., Попов В.Ю.


А.И. Мальцев в [1,2] доказал неразрешимость элементарных теорий
свободных нильпотентных и свободных разрешимых групп в сигнатуре
$\sigma = \langle \cdot , {}^{-1} , 1, C \rangle$,
где $C$ -- множество констант -- свободных порождающих.
В.А. Романьков в [3] и Н.Н. Репин в [4] установили
неразрешимость $\exists$-теорий [5] сигнатуры $\sigma$
свободной метабелевой группы и, соответственно, свободной
$n$-ступенно нильпотентной группы для $n \geq 3$.
В [5] получено описание критических теорий сигнатуры
$\gamma = \langle \cdot , {}^{-1} , 1 \rangle$
многообразия ${\frak G}$ всех групп, а в [6] указаны некоторые
критические $\gamma$-теории многообразий ${\frak N}_k$
и ${\frak R}_l$ всех $k$-ступенно нильпотентных и $l$-ступенно
разрешимых групп. Эти результаты инспирируют интерес к вопросу
описания всех критических теорий многообразий ${\frak N}_k$
и ${\frak R}_l$.
Ответ на него дает
\smallskip
{\bf ТЕОРЕМА.}
Для любых $k \geq 4$ и $l \geq 3$ следующие теории и только они будут
критическими $\gamma$-теориями многообразий ${\frak N}_k$
и ${\frak R}_l$:
\centerline{$\forall \exists {\frak N}_k$,
$\exists \forall \neg \vee {\frak N}_k$,
$\forall \exists {\frak R}_l$,
$\forall \neg \vee {\frak R}_l$.}
Вопрос о критических теориях многообразий
${\frak N}_k$ и ${\frak R}_l$
для $k \in \{ 2,3 \}$ и $l=2$ остается открытым.
\bigskip
\centerline{ Литература}
\smallskip
1. Мальцев А.И. Об одном соответствии между кольцами и
группами // Матем. сб. 1960. Т.50, N3. C.257-266.
2. Мальцев А.И. О свободных разрешимых группах //
Докл. АН СССР. 1960. Т.130, N3. C.495-498.
3. Романьков В.А. Об уравнениях в свободных метабелевых группах //
Сиб. матем. журн. 1979. T.20, N3. C.671-673.
4. Репин Н.Н. Об уравнениях в нильпотентных группах //
9 Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тез. докл. Москва, 1982.
5. Важенин Ю.М. Алгоритмические проблемы и иерархии языков первого
порядка // Алгебра и логика. 1987. Т.26, N4. С.419-434.
6. Важенин Ю.М. О границах разрешимости многообразий
нильпотентных и разрешимых групп. 11 Межреспубликанская конф.
по математической логике. Тез. сообщ. Казань: КГУ, 1992. С.32.