Об одном классе групп с инволюциями ($T_0$-группы)

Шунков В.П.


Охарактеризован класс $T_0$-групп, тесным образом связанный со свободными
бернсайдовскими группами нечетного периода $\geq 665$.
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА.
Пусть $G$ --- группа, $a$ --- ее нетривиальный элемент конечного порядка,
удовлетворяющие следующим условиям:
1) почти все
подгруппы вида гр$(a,a^g)$, $g\in G$, конечны и почти все разрешимы;
2) в централизаторе $C_G(a)$ множество элементов конечных порядков конечно;
3) в группе $G$ нормализатор любой нетривиальной
$(a)$-ин\-ва\-ри\-ант\-ной конечной подгруппы обладает периодической частью;
4) при $|a|\neq 2$ и для $q\in \pi (G) $ любая
$(a)$-инвариантная элементарная абелева $q$-подгруппа из $G$ конечна.
Тогда либо $G$ обладает почти нильпотентной периодической частью,
либо $G$ --- $T_0$-группа и $p=2$.
Также будет справедлива следующая
ТЕОРЕМА 1. Пусть $G$ --- группа, $a$ --- ее нетривиальный элемент
конечного порядка, удовлетворяющие следующим условиям:
1) почти все подгруппы вида гр$(a,a^g)$, $g\in G$,
конечны и почти все разрешимы;
2) централизатор $C_G(a)$ конечен;
3) при $|a|\neq 2$ и для $q\in \pi (G) $, любая
$(a)$-инвариантная элементарная абелева $q$-подгруппа конечна.
Тогда $G$ --- периодическая почти нильпотентная группа.
Какое место занимает конечная группа в классе всех групп или, другими
словами, --- каковы условия конечности, при которых группа становится
конечной?
Этот вопрос всегда был актуальным, в особенности, в связи с известными
проблемами Бернсайда [1,2].
Результат, который будет приведен ниже, в какой-то мере, дает ответ на
сформулированный выше вопрос.
ТЕОРЕМА 2.
Нетривиальная конечно порожденная группа $G$ тогда и только
тогда конечна, когда в ней существует такой неединичный элемент $a$
конечного порядка, и выполняются следующие условия:
1) почти все подгруппы вида гр$(a,a^g)$, $g\in G$,
конечны и почти все разрешимы;
2) централизатор $C_G(a)$ конечен;
3) при $|a|\neq 2$ и для $q\in \pi (G), q \neq p$, любая
$(a)$-инвариантная элементарная абелева $q$-подгруппа конечна.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований, грант N 96-01-00400.
\centerline{ ЛИТЕРАТУРА}
\begin{enumerate}
\item Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп, 3-е изд.
--- M.: Наука 1982. --- 288 с.
\item Кострикин А.И. Вокруг Бернсайда. --- М: Наука, 1982. --- 317~с.
М.: Наука, 1989.
\end{enumerate}