О некоторых подмногообразиях многообразия околодистрибутивных решеток
Пургин А.В.
В работе приведены результаты, полученные при подходе к решению
известной проблемы 1.30 [1].
Пусть $ND$, $AD$ --- многообразия околодистрибутивных и
почти дистрибутивных решеток соответственно.
Выше перечисленные классы определены в [2].
Рассмотрим следующие многообразия решеток:
$K_{\alpha}$ --- многообразие, определяемое тождеством
$a[(b+ac)(c+ab)+(a+b)c+(a+c)b]= ab+ac$
и ему двойственным;
$K_{\beta }$ --- многообразие, определяемое тождеством
$a[(b+ac)(c+ab)+(a+b)c+(a+c)b]+bc= ab+ac+bc $
и ему двойственным;
$K_{\gamma}$ --- многообразие, определяемое тождеством
$$a[(a+b)c+(a+c)b]=ab+ac \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$$
и тождеством, ему двойственным (многообразие $K_{am}$,
определяемое одним тождеством (1), охарактеризовано
в терминах гомоморфизма и изотонного
отображения Кутьиным~ А.~М. в [3]);
$K_{\delta }$ --- многообразие, определяемое тождеством
$a[(a+b)c+(a+c)b]+bc= ab+ac+bc $
и ему двойственным.
Введем в рассмотрение конечные подпрямо неразложимые решетки
$L_1,\ldots, L_{15}$, порождающие покрытия многообразия
$ \langle N_5 \rangle $, эти решетки определены в [2].
\vspace{3mm}
{\bf Предложение 1.} Справедливы следующие отношения между многообразиями:
1. Для любого конечного $n$ \quad
$ \langle L_6^n \rangle \subset K_{\alpha},$\quad
$ \langle L_9^n \rangle \subset K_{\alpha},$\quad
$ \langle L_{10}^n \rangle \subset K_{\alpha}$
и для любого счетного $ \omega$\quad
$ L_6^{\omega } \in K_{\alpha},$ \quad
$ L_9^{\omega } \in K_{\alpha},$ \quad
$ L_{10}^{\omega } \in K_{\alpha}.$
2. $K_{\alpha} \subset K_{\beta} \cap K_{\gamma},$\quad
$K_{\alpha} \subset ND,$ \quad $K_{\alpha} || AD,$ \quad
$K_{\beta} \subset ND,$ \quad $K_{\beta} || AD,$ \quad
$K_{\gamma} \subset ND,$ \quad $K_{\gamma} || AD,$ \quad
$K_{\beta} \subset K_{\delta},$ \quad
$K_{\gamma} \subset K_{\delta},$ \quad
$ AD \subset K_{\delta} \subset ND.$
\vspace{3mm}
{\bf Предложение 2.} Многообразия $K_{\alpha},~~ K_{\beta}, ~~
K_{\gamma},~~ K_{\delta}$ не порождаются конечным решетками.
{\bf Теорема 1.} Многообразие $K_{\gamma}$ конечно не
характеризуемо.
Найден ряд тождеств, определяющих многообразия со свойствами,
аналогичными свойствам классов $K_{\alpha}$, $K_{\beta}, K_{\gamma},
K_{\delta}$.
Литература:
[1] {\it Гретцер~ Г.} Общая теория решеток. М.: Мир, 1982.
[2] {\it Jipsen~ P., Rose~ H.} Varieties of Lattices. Springer-Verlag,
Berlin, Heidelberg, 1992.
[3] {\it Кутьин~ А.~М., Пургин~ А.~В.} О многообразиях решеток.
Вестник КГТУ, выпуск 10, Красноярск, 1997, 57-65.