Экстраполяционное решение обобщенной континуум-проблемы

Нудельман А.С.


Можно предполагать, что аксиомы $ZF$, кроме аксиомы бесконечности,
являются результатом экстраполяции (распространения) свойств конечных
множеств на бесконечные (акт экстраполяции реализуется аксиомой
бесконечности). Здесь продолжается формирование теоретико--множественных
представлений в соответствии с вышеприведенным предположением и
предлагается аксиома $ABS$, которой экстраполируется еще одно свойство
конечных множеств.
Буквами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ обозначаются ординалы. Через $|x|\tau|y|$,
где $\tau\in\{<,\\ \leq,=,\geq,>\}$, обозначаются
сравнения мощностей множеств $x$ и $y$. Если $f$ --- отображение и
$x\subseteq {dom} f$, то $f[x]$ обозначает $\{f(z)\mid {z\in x}\}$. Через $P(x)$
обозначается $\{z\mid z\subseteq x\}$.
{\bf Определение}. Множество $x$ поглощает множество $y$ (кратко,
${abs}(x,y))$, если и только если существует разнозначное отображение
$f:{\beta+1}\rightarrow y\cup\{y\}$ такое, что имеет место а) $f[\beta]=y$,
б) $\forall\gamma<\beta(|f[{\gamma+1}]|\leq |x|)$ и в) $|f[{\beta+1}]|>|x|$.
{\bf Аксиома $ABS$}. Для всяких множеств $x$ и $y$, если ${abs}(x,y)$, то
существует функция $\varphi:P(x)\rightarrow P(y)$ такая, что выполняется
\begin{itemize}
\item[{а)}] $\forall z\subseteq x({abs}(z,\varphi(z)))$,
\item[{б)}] ${\forall z_1, z_2}\subseteq x(\varphi(z_1\cap z_2)=\varphi (z_1)
\cap \varphi (z_2))$.
\end{itemize}
Обозначим через $ABS^{fin}$ утверждение, получаемое из $ABS$ заменой выражения
"для всяких множеств $x$ и $y$" на "для всяких конечных множеств $x$ и
$y(|x|,|y| {\bf Предложение 1.} В $ZF$ доказуемо $ABS^{fin}$.
{\bf Предложение 2.} В $ZF$ доказуема эквивалентность
$ABS\longleftrightarrow {ОКГ}$.
{\bf Следствие 1.} В $ZF$ не доказуема $ABS$.
{\bf Следствие 2.} Если $ZF$ непротиворечива, то $ZF+ABS$ непротиворечива.
{\bf Следствие 3.} В $ZF+ABS$ доказуема $ОКГ$.