О простейшей метатеории множеств

Нудельман А.С.


Пусть $L$ --- язык сигнатуры $\langle\in,\lor\rangle$
($\lor$ --- константа) с переменными $x, y, z, t,\ldots$.
Определяется (мета)язык $ML$, формулы которого могут содержать, кроме
переменных, метапеременные $\theta, \theta_1,\ldots$ (область значения
метапеременной есть семейство $L$--формул с одной свободной переменной).
\begin{itemize}
\item[{1)}] Если $\varphi \in L$, то $\varphi\in ML$.
\item[{2)}] Если $\varphi, \psi\in ML$, $x$ --- переменная, $\theta$ --- метапеременная,
то $\theta(x)$, ${\theta^{\vee}}(x)$, $\varphi \&\psi$, $\varphi\lor\psi$,
$\varphi\rightarrow\psi$, $\lnot\varphi$, $\forall x\varphi$, $\exists x\varphi$,
$\forall\theta\varphi$, $\exists\theta\varphi\in ML$.
\end{itemize}
{\bf Аксиомы метатеории $MTS_0$}:
\begin{itemize}
\item[{$A_1$.}] $\forall x,y (\forall z(z\in x\longleftrightarrow z\in y)\rightarrow x=y)$.
\item[{$A_2$.}] $\forall x(x\neq\oslash\rightarrow{\exists y}\in x(x\cap y=\oslash))$.
\item[{$A_3$.}] $\forall x(x\in\lor\rightarrow x\subseteq\lor)$.
\item[{$A_4$.}] $\forall{\theta_1,\ldots,\theta_{m}}({[\varphi]^{\vee}}\rightarrow\varphi)$.
\item[{$A_5$.}] $\forall{\theta_1,\ldots,\theta_{m}}\forall y(y=\{x\in\lor\mid
\varphi^{\vee}(x)\}\rightarrow(y\in\lor\longleftrightarrow\forall x(\varphi(x)\\
\longleftrightarrow x\in y)))$.
\item[{$A_6$.}] ${\forall{t_1,\ldots,t_{n}}}{\forall\theta_1,\ldots,\theta_{m}}
\forall x\exists y(y=\{z\in x\mid\varphi(z,x)\})$. (В ${A_4}\div{A_6}$ формула
$\varphi$ имеет естественные синтаксические ограничения.)
\item[{$A_7$.}] $\forall y(y\subseteq\lor\rightarrow\exists\theta(y=\{x\in\lor\mid
\theta^{\vee}(x)\}))$.
\end{itemize}
Пусть теория $T_5=\{{A_1}\div{A_5}\}$, а теория $T_6={T_5}+{A_6}$.
{\bf Предложение 1.} Если $ZF$ непротиворечива, то $T_5$ непротиворечива.
{\bf Гипотеза 1.} Теория $T_5$ имеет естественную кумулятивную модель.
{\bf Предложение 2.} Если $ZF$ непротиворечива и верна гипотеза 1, то в
теории $T_6$ не доказуемо отрицание $\lnot{{A_7}^{\vee}}$, где ${{A_7}^{\vee}}$
есть
$$\forall y(y\in\lor\rightarrow\exists\theta(y=\{x\in\lor\mid{\theta^{\vee}}(x)\})).$$
{\bf Гипотеза 2.} Если $ZF$ непротиворечива, и верна гипотеза 1, то
в теории $T_6$ не доказуемо отрицание $\lnot A_7$.
В теории $MTS_0$ доказуемо существование иерархии измеримых кардиналов.