К определению модулярной пары: r-модулярность

Кутьин А.М.


Модулярная пара (м.п.) эффективно используется в теории решеток [1-3]. В
связи с этим в [1] поставлена проблема (12): "Как можно было бы определить
"модулярные пары" в произвольном у-множестве?". Другие понятия и
обозначения см. в [1-4]. Из различных определений м.п. [4], введенных нами,
исследуем здесь лишь одно. Пара $a,b$ из мультирешетки $P$, с определенной на
ней ранговой функцией $r(x)$, называется $r$-модулярной, если
$r(a)+r(b)=r(s)+r(i)$, где $s$ - любой из $S(a,b)$, $i$ - любой из $I(a,b)$,
и обозначается через $(a,b)Mr$.
\begin{prop} Если $(a,b)Mr$ в мультирешетке $M$, то
$r(s_i)=r(s_j)$ и $r(i_m)=r(i_n)$ для любых $s_i,s_j\in S(a,b)$ и любых
$i_m,i_n\in I(a,b)$.
\end{prop}
\begin{thm}
(характеризационная). В мультирешетке $М$ c $r(x)$ пара $(a,b)$
является $r$-модулярной тогда и только тогда, когда $r(i)=r(i')$,
$r(s)=r(s')$, $l(C_i^a)=r(a)-r(i)=r(s)-r(b)=l(C_b^s)$ и
$l(C_a^s)=r(s)-r(a)=r(b)-r(i)=l(C_i^b)$ для
всех $i, i'\in I(a,b)$, $s,s'\in S(a,b)$ и
всех максимальных цепей вида $С_i^a$,
$С_b^s$, $С_a^s$ и $С_i^b$.
\end{thm}
\begin{prop} В $ML$-решетке $М$, в которой выполняется
Ж-Д-ус-ловие, для любого $x\in M$ найдется такой $y\in M$,
что $(x,y)Mr$; при
этом, если в $М$ есть $z||x$, то найдется такой $y||x$, что $(x,y)Mr$.
\end{prop}
\begin{thebibliography}{}
\bibitem{birk}
Биркгоф Г. Теория решеток. М., Наука, 1984.
\bibitem{aign}
Айгнер М. Комбинаторная теория. М., Мир, 1984..
\bibitem{gret}
Гретцер Г. Общая теория решеток. М., Мир, 1984.
\bibitem{kut}
Кутьин А.М., Пургин А.В. Элементы двух классов направленных множеств/ Избранные
доклады международной конференции "Всесибирские чтения по математике и
механике". Том 1. Томск, 1997. С. 150-158.
\end{thebibliography}