Аффинные группы модулей и колец

Крылов П.A.


Пусть $R$ --- ассоциативное кольцо с единицей, $A$ --- правый $R$-модуль,
$Aut A$ --- группа его автоморфизмов. Далее, $Aff A$ ---
аффинная группа модуля $A$, т.е. полупрямое расширение его
аддитивной группы с помощью группы $Aut A$. Для $A=R_{R}$
получаем аффинную группу $Aff R$ кольца $R$.
Аффинные группы модулей (колец) мало изучены.
В книге Х.Басса (Алгебраическая $K$-теория. М. Мир, 1973)
приводятся лишь отдельные свойства аффинной группы свободного модуля.
Известны важные применения аффинных групп линейных пространств.
Изучение аффинных групп модулей представляет определенный интерес.
Начато систематическое исследование аффинных групп модулей и колец.
Одна из интересных задач состоит в описании изоморфизмов аффинных групп.
В частности, когда из $Aff A \cong Aff B$ ( $A$ и $B$ ---модули; не
обязательно над одним кольцом) следует $A\cong B$?
Трудность решения этой задачи в том, что обычные изоморфизмы
аффинных групп сохраняют мало информации о модульной структуре.
Частично ее можно преодолеть следующим образом.
Для элементов $(a,\varphi)\in Aff A$ $(a\in A, \varphi \in Aut A) $
и $r\in R$ полагаем $(a,\varphi )r=(ar,\varphi)$. Таким путем $Aff A$
превращается в операторную группу над мультипликативной полугруппой кольца $R$.
{\bf Теорема }. {\it Пусть $A$ и $B$ --- $R$-модули. Тогда всякий
операторный изоморфизм $\mu$ групп $Aff A$ и $AffB$ индуцируется
некоторым изоморфизмом модулей $A$ и $B$ в том смысле, что существует
такой изоморфизм $\omega : A\to B$, что
$\mu (a,\varphi )= (\omega a,\omega \varphi \omega^{-1}) $
для каждой пары $(a,\varphi)\in Aff A$.