Новые логические связки: вопросы полноты

Яшин А.Д.


Расcматриваются вопросы, связанные с т.н.\ синтаксическим подходом к понятию
интуиционистской логической связки, предложенным еще в конце 50-х годов
академиком П.С.Новиковым. Исходными понятиями в этом подходе являются
понятия логики, {\em определяющей} новую интуиционистскую логическую связку, и
{\em полной} (по Новикову) логики с дополнительной связкой.
В развитие этого подхода автором разработаны следующие методы и получены
результаты:
\begin{itemize}
\item Для языка с дополнительным конечным набором констант разработан метод
конечных наростов, позволяющий строить примеры полных по Новикову логик с
новыми независимыми константами.
\item В случае одной дополнительной константы удалось получить явное описание
семейства всех полных по Новикову логик, и, как следствие, алгоритмическую
разрешимость проблемы консервативности.
\item Если констант более чем одна, то семейство всех полных по Новикову
логик имеет мощность континуума.
\item Для двух и более констант алгоритмическая проблема консервативности
оказывается неразрешимой.
\item Разработан вариант метода перевода, позволяющий по известным примерам
полных по Новикову логик строить другие примеры.
\item Семейство полных по Новикову логик с одной новой одноместной связкой
континуально.
\item Построены полные по Новикову расширения логик Кузнецова и Габбая,
формализующих свойства т.н. {\em иррефлексивной} модальности.
\end{itemize}
Другая часть работы посвящена семантическому подходу к понятию
интуиционистской связки, при котором связка понимается как способ определения
истинностного значения в реляционной модели. В рамках этого подхода дана
семантическая характеризация некоторых наборов логических связок, активно
рассматривавшихся в литературе.