О вполне транзитивных группах без кручения

Чехлов А.Р.


Абелева группа $A$ без кручения
называется вполне транзитивной, если для любых ее элементов $а,b$
условие на их характеристики
$\chi _{A}(a) \leq \chi _{A}(b)$ влечет
существование ее эндоморфизма $f$ со свойством $f(a)=b$. $E(A)$ обозначает
кольцо эндоморфизмов группы $A$, $t(a)$ --- тип ее элемента $a$,
если $t$ --- некоторый тип, то $A(t)=\{a\in A|t(a)\geq t\}$.
Кольцо $R$ называется $E$-кольцом, если всякий эндоморфизм его аддитивной
группы совпадает с умножением $R$ слева на некоторый элемент из $R$.
Вполне транзитивные группы изучались в работах ряда авторов.
Наибольшее внимание привлекали вполне транзитивные группы без кручения
с условиями на типы элементов.
{\bf Теорема 1}. {\it Если $A$ --- квазиоднородная вполне транзитивная группа
без кручения конечного $p$-ранга
для некоторого простого числа $p$, все ее сервантные подгруппы сильно
неразложимы,
то все ненулевые эндоморфизмы $A$
являются мономорфизмами. }
Напомним, что кольцо называется подкоммутативным, если для любых его
элементов $\alpha, \beta$ существует такой элемент $\gamma$,
что $\alpha \beta =\gamma \alpha$.
{\bf Теорема 2.} {\it Пусть $A$ --- вполне транзитивная группа без кручения.
Тогда
1) $E(A)$ --- кольцо без делителей нуля тогда и только тогда, когда в нем
нет ненулевых нильпотентных элементов;}
2) {\it следующие условия эквивалентны: а) все ненулевые эндоморфизмы $A$
являются мономорфизмами; б) $E(A)$ ---
подкоммутативное кольцо, в частности, эндоморфные образы $A$ вполне
характеристичны.}
3) {\it $E(A)$ --- $E$-кольцо тогда и только тогда, когда все ненулевые
эндоморфизмы $A(t(a))$ являются мономорфизмами для
каждого ненулевого элемента $a$ группы $A$.}
Автор описал вполне транзитивные группы без кручения,
все ненулевые эндоморфизмы которых --- мономорфизмы; и получил ряд новых
результатов о разложимых вполне транзитивных группах без кручения. Предпринято
систематическое изучение классов групп, близких к вполне транзитивным. Так,
недавно получено описание квазисервантно инъективных групп без кручения,
проблема 17 а) из книги Л.Фукса (Бесконечные абелевы группы. М. Мир, 1973).