Теория центральных единиц целочисленных групповых колец групп $PSL_2(q)$

Алеев Р.Ж.


Работа продолжает исследования, начатые в [1].
Мы будем рассматривать {\it только\/} группы $G=PSL_2(2^n)$. Для групп
$PSL_2(q)$
(если $q$ нечётно) можно построить подобную теорию, но она будет более
сложно описываться из-за большего числа возникающих случаев.
Мы получили разннобразные факты о центральных единицах, но, к сожалению,
их перечисление всех их займет слишком много места. Поэтому мы ограничимся
лишь основными результатами.
Любую центральную единицу $u$ запишем в виде
$$
u=\sum_{x\in X}\gamma_u(x)y(x),
$$
где $X$ --- система предствителей классов сопряженности группы $G$,
$\gamma_u(x)$ --- целое число, и $y(x)$ --- классовая сумма класса $x^G$.
{\bf Теорема 1.}
{\it Пусть $V$ --- нормализованная группа центральных единиц целочисленного
группового кольца группы $G$.
Пусть $a$ --- элемент $G$ порядка $q-1$ и $b$ --- элемент $G$
порядка $q+1$.
Определим
$$A=\{u\in V\mid\gamma_u(b^m)=0,{\ }\forall m\},\quad
B=\{u\in V\mid\gamma_u(a^l)=0,{\ }\forall l\}.$$
Тогда:
\begin{itemize}
\item[{\rm 1.}]
$A$ и $B$ --- подгруппы $V$,
\item[{\rm 2.}]
$V=A\times B$.
\end{itemize}
}
{\bf Теорема 2.}
{\it Пусть $V$ --- нормализованная группа центральных единиц целочисленного
группового кольца группы $G=PSL_2(q)$, $q=2^n$. Тогда ранг $V$ равен
$$
q+1-\nu(q-1)-\nu(g+1)
$$
(здесь $\nu(k)$ --- число натуральных делителей целого числа $k$).}
Моя студентка Н.~Аминева получила полное описание группы $V$ для $q=8$.
{\bf Литература}
1. {\bf ALEEV R.~\v{Z}.}
{\it Higman's central unit theory, units of integral group rings of finite
cyclic groups and Fibonacci numbers.}
Intern. Journ. Algebra and Computations, 1994, v.~4, no.~3, p.~309--358.