НЕСТАНДАРТНОМУ АНАЛИЗУ 50 ЛЕТ

Термин «нестандартный анализ» возник 50 лет назад. Так была озаглавлена статья Абрахама Робинсона (1918–1974), в которой он доказал, что представления об актуальных бесконечно больших и бесконечно малых величинах никак не противоречат современным математическим воззрениям. В самом конце 2011 г. в издательстве «Наука» вышла книга «Инфинитезимальный анализ: избранные темы», написанная Е. И. Гордоном, А. Г. Кусраевым и С. С. Кутателадзе, отразившая ряд последних исследований этой математической технологии.

Инфинитезимальный анализ

Нестандартный анализ — прямой наследник инфинитезимального анализа Ньютона, Лейбница и Эйлера, он реабилитировал и демистифицировал актуальные бесконечности в математике и естествознании, вернул многие интеллектуальные достижения прошлого в науку наших дней. Век Просвещения — эпоха микроскопа и телескопа, царство бесконечно больших и бесконечно малых величин, поиск божественного промысла в лучшем из миров. Математика Просвещения — инфинитезимальный анализ, основанный на свободном синтезе идей актуальных и потенциально бесконечных величин и процессов. Упрощённый взгляд на математику, основанный на эпсилон-дельтизме, изгнал идею актуальной бесконечности. Тем самым математика была обеднена, оторвана от своей истории и противопоставлена практике естествознания.

В середине ХХ века методы Эйлера объявлялись нестрогими или даже неверными. Временные трудности в обосновании были абсолютизированы и достижения Эйлера стали трактовать как гениальные, но недоказанные озарения. Математик — тот, кто отличает доказанное от недоказанного. Табу на инфинитезимали выводило Эйлера из числа математиков. Фактически Эйлер как математик был реабилитирован только в рамках нестандартного анализа. Включение наследия Эйлера в современную парадигму математики — выдающийся вклад нестандартного анализа наших дней.

Нестандартный анализ расположен на стыке классических исчислений и современной математической логики. Нестандартный анализ породил нестандартную теорию множеств, основанную на использовании нового первичного неопределяемого объекта — предиката стандартности. Фактически математика вернулась к своим античным истокам, в которых она базировалась на двух первичных понятиях — точки и монады. При этом нестандартный анализ обогатил технику математических доказательств принципами идеализации и стандартизации. Технологии нестандартного анализа существенно облегчают доказательства, так как содержат приёмы, позволяющие уменьшать сложность кванторных приставок. На этом пути возникла современная математическая монадология.

Источником идей Лейбница служили геометрические воззрения античности, которыми он восторгался с детства. Монада Евклида — математический инструмент исчисления, парный атому геометрии — точке. Математика Евклида — произведение человеческого духа. Монады Лейбница, вскормленные его мечтой о calculemus, — универсальный инструмент творения, познание которого приобщает человека к божественному замыслу. Точка и монада в древности — независимые формы, представления о неделимых началах фигур и чисел. Обе идеи прочно встроены в концепцию универсального атомизма. В основе первичного представления о прямой с самого начала лежит её двойственная — дискретно-непрерывная — природа. Лейбниц придал древней геометрической идее универсальное сакральное значение. Древние осознавали особый статут начала счёта. Для того чтобы перечислять, надо обособить перечисляемые сущности и только потом сопоставить их с символическим рядом числительных. Мы приступаем к счёту тем, что «многое делаем единым». Особая роль акта начала счёта нашла отражение в почти тысячелетнем диспуте о том, считать единицу (или монаду) натуральным числом или нет. Сейчас нам кажется чрезмерной особая щепетильность в выделении специальной роли единицы-монады. Между тем так было далеко не всегда.

Математическая монадология возникла в работах В. Люксембурга, предложившего новый подход к общей топологии. Центральным в теории Люксембурга является понятие монады стандартного фильтра — внешнего множества, представляющего пересечение всех стандартных элементов фильтра. При этом исходный фильтр восстанавливается как стандартизация внешнего множества надмножеств своей монады. Монадология позволяет индивидуализировать важнейшие топологические понятия. Например, возникает понятие околостандартной точки, т. е. элемента монады некоторой стандартной точки. При этом стандартное множество оказывается компактным в том и только в том случае, если каждая его точка околостандартна. Равномерная сходимость возникает как поточечная сходимость в каждой точке стандартного множества, что раскрывает нам интуитивные представления Коши о строении континуума.

Обозреть распространение идей нестандартного анализа не представляется возможным, ровно так же как невозможен обзор приложений дифференциального исчисления или теории вероятностей. Робинсоновский формализм используется в математической экономике, менеджменте, гидродинамике, моделировании, программировании, оптимизации. Формализм теории внутренних множеств Э. Нельсона существенно расширил и обогатил методологию и сферу приложений нестандартного анализа. Новая парадигма связана с переменой точки зрения на классический континуум. В теории Нельсона инфинитезимали живут внутри единичного интервала, а не в его нестандартном расширении. Нельзя не отметить реабилитацию частотного подхода Мизеса, осуществленную Нельсоном в его концепции «радикально элементарной теории вероятностей». Теории внешних множеств К. Хрбачека и Т. Каваи расширили выразительные и технические возможности нестандартного анализа, объединив достоинства формализмов Робинсона и Нельсона.

Математика обязана постоянно приспосабливать себя к общим парадигмам науки. Нестандартный анализ завершает догматический этап развития идей древнего математического атомизма подобно тому, как воображаемая геометрия Лобачевского завершила догматический этап развития евклидовой геометрии. ХХ век ознаменован освобождением человечества от тирании единообразия. Наполненный гремучей смесью триумфов гения и злодейства, присущих популяции homo sapiens, XX век останется в истории не эпохой лютой ненависти и каннибализма, а периодом освобождения человечества от фатализма, категоричности, абсолютизма и доминирования. Нестандартный анализ возрождает на новом этапе диалектические представления древних о строении математических объектов, возвращает к извечным проблемам мышления, освобождает от предвзятости и зазнайства. В этом его неизбывная гуманистическая ценность.

Нестандартный анализ — продукт и источник свободы. Курт Гёдель писал в 1973 г.: «есть хорошие основания полагать, что нестандартный анализ в той или иной версии станет анализом будущего».

С. Кутателадзе

9 марта 2012 г.


Владикавказский мат. журн., 2012, Т. 14, №2, 67–70.


Наука в Сибири, № 11, 15 марта 2012 г., c. 6.


Follow ssk_novosibirsk on Twitter Twitter
English Page
Russian Page
© Кутателадзе С. C. 2012