ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА,
ЗОНОИДЫ И БЭНГ-БЭНГ

К столетию со дня рождения Алексея Андреевича Ляпунова (1911–1973)

Теория и практика экстремальных задач, выбор оптимального управления в детерминированных и стохастических условиях, многие подходы математической экономики базируются на фундаментальных идеях функционального анализа, связанных с выпуклостью и мерой.
Теорема Ляпунова о выпуклости, доказанная в 1940 г. (см. [1]–[5]), занимает особое место в современной математике, поскольку лежит на стыке теории выпуклых тел и теории меры. Теорема Ляпунова стала отправной точкой многочисленных исследований как в области векторного интегрирования в рамках математического анализа, так и в сфере геометрического изучения специальных конечномерных выпуклых тел, служащих множествами значений безатомных векторных мер.
Удивительность открытия Ляпунова связана с парадоксальным и хрупким балансом взаимодействия разнообразных конечномерных и бесконечномерных идей. Эффекты теоремы Ляпунова пропадают или распадаются, если допустить в рассмотрение недиффузные, или конечно-аддитивные меры, или же меры со значениями в бесконечномерных пространствах (см., в частности, вторую статью А. А. Ляпунова [2] и [20]). Между тем с геометрической точки зрения в теореме Ляпунова речь идет об отображении крайних точек некоторого бесконечномерного компактного выпуклого множества. Именно это обстоятельство обыгрывается в изящном доказательстве Линденштраусса, найденном в 1966 г. и немало способствовавшем популяризации теоремы Ляпунова (см. [18]).
Надо отметить, что в настоящее время известны доказательства теоремы Ляпунова, основанные только на самых первых фактах математического анализа (см., в частности, [10], [12]). Таково и весьма элегантное доказательство Росса, найденное в 2005 г. и использующее только теорему о промежуточных значениях [24].
Теорема Ляпунова сразу же поставила вопрос об описании тех выпуклых компактов в конечномерном пространстве, которые служат множествами значений диффузных мер. В современной геометрической литературе эти компакты получили название зоноидов. Среди зоноидов выделяются суммы Минковского конечного числа отрезков — зонотопы. Зонотопы заполняют выпуклый конус в пространстве выпуклых тел, плотный в замкнутом множестве всех зоноидов. Впервые (и почти в современном виде) описание множеств значений векторных мер в теореме Ляпунова было найдено К. И. Чуйкиной (см. [6], [7]). Этот результат был вскоре несколько дополнен и упрощён Е. В. Гливенко (см. [8]). Нынешние зонотопы именовались в ту пору параллелоэдрами.
Крупное дальнейшее продвижение в исследовании множеств значений векторных мер принадлежит В. А. Залгаллеру и Ю. Г. Решетняку, которые описали зоноиды как результаты смешения линейных элементов спрямляемой кривой в конечномерном евклидовом пространстве в 1954 г. (см. [9]). В этой же работе было предложено новое доказательство теоремы Ляпунова и описаны зонотопы как те и только те выпуклые многогранники, чьи двумерные грани имеют центры симметрии. К сожалению, эти работы остались практически неизвестными на Западе. Аналогичные результаты были получены Болкером лишь через пятнадцать лет в 1969 г. (см. [11]).
Важно отметить исключительную роль теоремы Ляпунова в обосновании «бэнг-бэнг» принципа в теории оптимального управления. Этот принцип утверждает, что оптимальные управления осуществляются крайними точками множества допустимых управлений.
Смысл бэнг-бэнг принципа состоит в том, что в условиях ограниченных ресурсов для оптимального перехода управляемой системы из одного состояния в другое за минимальное время необходимо использовать крайнее «бэнг-бэнг» управление. Иначе говоря, если у системы есть оптимальное управлениe, у нее есть оптимальное «бэнг-бэнг» управление [15, p. 47]. Об этом см., например, [14], [16], [17],[19],[21].
В заключение отметим, что история теоремы Ляпунова в рамках функционального анализа несколько отражена в [23]. О месте этой теоремы и исследованиях по её обобщению в рамках теории меры см. [22]. Относительно зоноидов см., в частности, [13].

Литература

[1] Ляпунов А. А., О вполне аддитивных вектор-функциях. I// Изв. АН СССР, Сер. матем., 4, 465–478 (1940).
[2] Ляпунов А. А., О вполне аддитивных вектор-функциях. II// Изв. АН СССР, Сер. матем., 1946, 10, 277–279 (1946).
[3] Ляпунов А. А., О вполне аддитивных вектор-функциях. III (Об одной задаче Ю.Ч.Неймана) // Проблемы кибернетики, вып. 12, 165–168 (1964).
[4] Ляпунов А. А., О вполне аддитивных вектор-функциях// Проблемы кибернетики, вып. 12, 169–179 (1964).
[5] Ляпунов А. А., Вопросы теории множеств и теории функций. М: Наука, 1979.
[6] Чуйкина К. И., Об аддитивных вектор-функциях// Учен. зап. Горьк. пед. ин-та, 16, Физ.-мат. ф-т, 3, 97–126 (1951).
[7] Чуйкина К. И., Об аддитивных вектор-функциях.// Докл. АН СССР, 76, 801–804 (1951).
[8] Гливенко Е. В., О множествах значений аддитивных вектор-функций// Матем. сб., 34(76), 407–416, (1954).
[9] Залгаллер В.А., Решетняк Ю.Г., О спрямляемых кривых, аддитивных вектор-функциях и смешении отрезков// Вестн. ЛГУ, 2, 45–65 (1954).
[10] Artstein Z. “Yet another proof of the Lyapunov convexity theorem,” Proc. Amer. Math. Soc., 108:1, 89–91 (1990).
[11] Bolker E., “A class of convex bodies,” Trans. Amer. Math. Soc., 145, 323–345 (1969)
[12] Elton J., Hill Th. “A generalization of Lyapounov's convexity theorem to measures with atoms,” Proc. Amer. Math. Soc., 99:2, 297–304 (1987).
[13] Goodey P., Weil W., “Zonoids and generalisations,” In: Нandbook of Convex Geometry, Vol. В., North-Holland, Amsterdam etc., 1296–1326 (1993).
[14] Halkin H., “A generalization of LaSalle’s bang-bang principle,” SIAM Journal on Control and Optimization, 2, 199–202 (1965).
[15] Hermes H., LaSalle J. P., Functional Analysis and Time Optimal Control. Academic Press, New York–London, 1969.
[16] LaSalle J. P., “The time optimal control problem,” In: Contributions to the Theory of Non-Linear Oscillations, Vol. 5, Ann. Math. Studies 45, 1–24, Princeton Univ. Press, 1960.
[17] Levinson N., “Minimax, Liapunov, and ‘bang-bang,’” J. Diff. Equat. 2, 218–241 (1966).
[18] Lindenstrauss J., “A short proof of Liapounoff’s convexity theorem,” J. Math. Mech., 15, 971–972 (1966).
[19] Neustadt L. W., “The existence of optimal control in the absence of convexity,” J. Math. Anal. Appl., 7, 110–117 (1963).
[20] Nunke R. J., Savage L. J., “On the set of values of a nonatomic, finitely additive, finite measure,” Proc. Amer. Math. Soc., 3:2, 217–218 (1952).
[21] Olech C. “Extremal solutions of a control system,” J. Diff. Eq., 2, 74–101 (1966).
[22] Pap E. (Ed.) Handbook of Measure Theory. Vol. 1 and 2. North Holland, Amsterdam (2002).
[23] Pietsch A., History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuser, Boston etc. (2007).
[24] Ross D., “An elementary proof of Lyapunov’s theorem,” Amer. Math.Monthly 112:7, 651–653 (2005).

С. Кутателадзе

15 марта 2011 г.


В кн.: Алексей Андреевич Ляпунов. 100 лет со дня рождения. Новосибирск: Академическое изд. «Гео» 2011, 262–264.


Available in English


File translated from TEX by TTHgold, version 4.00.
On 15 Mar 2011, 18:22.

Follow ssk_novosibirsk on Twitter Twitter
English Page Russian Page
© Кутателадзе С. С. 2011