ЭВОЛЮЦИЯ
ПЕРВИЧНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ
*

С.С. Кутателадзе

1: Математика как феномен культуры. Этимология: числа, исчисление, выкладка, цифирь; number, calculus, digit, arithmetics. Предыстория чисел. Счет по кардиналам и ординалам. Открытие двойственной природы целого числа. Проблема сравнения величин и метод измерений. Число как отношение величин. Становление арифметики как особого рода геометрического исчисления. Проблема изображения абстрактных чисел.

«Единственный естественный предмет математической мысли есть целое число». Пуанкаре А. О Науке c.223

2: «Начала» Евклида — становление математики как геометрии. Аксиоматический метод. Формальное определение чисел и фигур. Первичный дуализм точки и монады. Проблемы бесконечности и парадоксы.

«Евклидовы элементы в осьмь книг через профессора мафематики Андрея Фархвекртсона сокращенные. С латинского на российский язык хирургусом Иваном Сатаровым предложенные. В Санкт-Петербурге, 1739».
“Zeno'a argument ... does not touch the mathematical account of change...” Russell B. A History of Western Philosophy.—p.805.
“In this capricious world nothing is more capricious than posthumous fame. One of the most notable victims of posterity's lack of judgment is the Eleatic Zeno. Having invented four arguments all immeasurably subtle and profound, the grossness of subsequent philosophers pronounced him to be a mere ingenious juggler, and his arguments to be one and all sophisms. After two thousand years of continual refutation, these sophisms were reinstated, and made the foundation of a mathematical renaissance .... Although they have often been dismissed as logical nonsense, many attempts have also been made to dispose of them by means of mathematical theorems, such as the theory of convergent series or the theory of sets. In the end, however, the difficulties inherent in his arguments have always come back with a vengeance, for the human mind is so constructed that it can look at a continuum in two ways that are not quite reconcilable.” Russell B. The Principles of Mathematics.
“Generations of freshmen in philosophy have thrilled to the ever-fresh tales of the ever-intractable puzzles of Zeno.” Bochner S. The Role of Mathematics in the Rise of Science.-p.371
“The puzzles against motion cannot be refuted on Zeno's home ground, that is, in Zeno's own mode of verbalization.” Ibid.—p.371.

3: Восточный мистицизм и рождение алгебры. Эпоха Возрождения. Синтез алгебры Востока и геометрии Запада — прелюдия анализа бесконечных.

«Число — это величина, составленная из совокупности единиц. Единицу потому называют числом, что она занимает место в ряду чисел». Насирэддин Туси Тахрир Эглидис (1248). Перевод в Лондоне 1657.
«Единица находится вне чисел и не нуждается в них для определения, между тем как другие числа без нее невозможны; число есть не что иное как собрание единиц». Мухаммад ал-Хорезми. с.24 (1342).

4: «Математические основы натуральной философии», телескоп и микроскоп — символы классической науки. Флюксии и флюенты Ньютона и монады Лейбница. Математика становится гладким анализом. Эйлерово исчисление нулей.

«...обычное определение математического бесконечного гласит, что оно есть величина, больше которой, если она определена как бесконечно большая, или меньше которой, если она определена как бесконечно малая, уже нет или — в другой формулировке — как величина, которая в первом случае больше, а во втором случае меньше любой другой величины». Георг Вильгельм Фредерик Гегель (1770–1831) Наука логики (1812).—с.257.
«Бесконечна та величина, больше которой (т. е. больше определенного количества содержащихся в ней данных единиц) невозможно никакая другая величина».—с.405. Примечание к тезису первой антиномии: (Мир имеет начало во времени и ограничен также в пространстве. Мир не имеет начал во времени и границ в пространстве: он бесконечен и во времени, и в пространстве).
«Поэтому количество содержит в себе множество (данных единиц), большее, чем всякое число, — таково математическое понятие бесконечного». Иммануил Кант (1724–1804) Критика чистого разума (1781).—с.408.

Эйлер Л. (1707–1783) Введение в анализ бесконечного (1748). Л.Эйлер прямо указывал:

«...бесконечное число и число, большее всякого могущего быть заданным, — это синонимы».

Вольтер о Паскале:

«Паскаль, сам Блез Паскаль, автор Провинциальных писем, произносит такие слова: вы полагает невозможным, чтобы бог был бесконечным, не имея частей? Но я хочу показать вам одну неделимую и бесконечную вещь: это — точка, движущаяся во всех направлениях с бсконечной скоростью, ибо она одновременно находится всюду, причем в каждом из мест — целиком. Движущаяся математическая точка! Праведное небо! Точка, существующая лишь в мозгу геометра, находится одновременно повсюду и обладает бесконечной скоростью, словно бесконечная скорость может актуально существовать! здесь каждое слово — вздор, и этот вздор звучит из уст великого человека!» Философские сочинения.—с.345.

Вольтер об анализе

«Единственный метод, подобающий человеку, — анализ». Ibid.—с.302.

5: Проблема элиминации дуализма первичных математических понятий. Воззрения Вейерштрасса, Коши и Больцано. Запрет на актуальные бесконечные величины. Проблема полноты и распад отрезков. Канторовская теория множеств.

6: Математика на основе теории множеств. Отсутствие стандартной модели. Появление нестандартных моделей. Работы Робинсона и реабилитация актуальных бесконечных. Современные взгляды на строение чисел. Появление булевозначных моделей — новая концепция моделирования. Принцип Канторовича и превращение векторных решеток в подгруппы поля вещественных чисел. Новые модели чисел.

7: Псевдонаучные концепции: «неархимедова арифметика» и числа Рвачева, «нестандартный анализ» Ревуженко, сибирские «актуальные нули» и т. п.

«...геометр, пользуясь своим методом, может породить в философии лишь карточные домики, а философ со своим методом может породить в математике лишь болтовню; между тем задача философии именно в том и состоит, чтобы определять свои границы...». Кант И. Критика чистого разума. Раздел: Трансцендентальное учение о методе т.3,—с.609.

*  Тезисы доклада на Общеинститутском математическом семинаре 9.04.2004 в Институте математики им. С.Л. Соболева.

Follow ssk_novosibirsk on Twitter Twitter
English Page Russian Page