БАНАХ, СОБОЛЕВ И БУРНЫЕ ГОДЫ

Лучшие творческие достижения Стефана Банаха (1892–1945) и Сергея Львовича Соболева (1908–1989) пришлись на бурные предвоенные годы. Математические и физические концепции и теории радикально перестраивались, рождались новая физика и новая математика. Эти грандиозные научные события происходили в неблагоприятной обстановке подготовки ко Второй мировой войне и переделу мира.

Новые идеи математической физики.
Знакомство Соболева с книгой Банаха

Соболев — воспитанник ленинградской-петербургской школы математической физики, занимавшей уже и в 1930-е годы передовые позиции в мире (см. [1]). Одной из самых главных проблем математической физики начала ХХ века был поиск адекватного математического аппарата для описания квантово-механических явлений.

Принцип неопределенности Гейзенберга демонстрировал отсутствие лапласовского детерминизма в квантовой области и тем самым ставил задачу обобщения понятия функции как строго детерминированной зависимости переменной от аргумента. Новые идеи в расширении понятия функций во многом шли от попыток применить выдающиеся результаты Фредгольма по интегральным уравнениям. Поиски велись по многим направлениям — в теории потенциала, в некоммутативной алгебре, в расширении классов функций предельными переходами, в развитии символического исчисления Хевисайта и в рамках других идей (см. [2]).

Ряд революционных идей в сфере математизации квантовой механики принадлежит Дираку1. Среди них понятие δ-функции, введенное в 1927 г. в [4] и оказавшееся столь привлекательным, что использовалось даже формалистически настроенными Гильбертом и Нейманом в совместной работе с физиком-теоретиком Нордхаймом, помощником Гильберта (см. [5]).

Дирак писал2:

Однако вскоре Нейман выступил с критикой концепции Дирака и отказался от использования δ-функции, отмечая её «абсурдные свойства» (см. [6]).

Подробное изложение взглядов Дирака появилось в 1930 г.3 и уже в 1932 г. вышел перевод этого революционного сочинения на русский язык4. Обсуждая понятие δ-функции, Дирак указывает, что она «не является функцией от x в соответствии с обычным математическим определением» и отмечает, что δ-функцию можно назвать «несобственной функцией».

В 1932 г. Нейман развил критику Дирака и изложил собственный подход к квантовой механике, основанный на отказе от символизма Дирака и последовательном использовании операторов в гильбертовом пространстве5. Нейман писал6:

По поводу формализма Дирака далее Нейман пишет7:

В 1933 г. по инициативе В. И. Смирнова и Г. М. Фихтенгольца возник семинар по функциональному анализу, где реферировалась недавняя книга Банаха [11], положившая начало эре функционального анализа. Участники семинара знакомились также с сочинениями Неймана и Дирака.

В 1935 г. Соболев использует пространство L1 и, ссылаясь на идеи своего учителя Н. М. Гюнтера, предлагает «использовать некоторые функции, являющиеся решениями волнового уравнения в некотором обобщенном смысле. Эти решения не только могут не иметь первых производных, но могут быть даже сами неограниченными» (см. [12]). Идея расширения понятия функции получила развитие в революционных сочинениях [13], [14], ознаменовавших рождение современной теории распределений. В пространствах Соболева нашлось место для несобственных функций Дирака.

Интересно отметить, что идеи Неймана отразились и в работах Л. В. Канторовича по «расширению понятия функции», выполненных в 1935 г. (см. [15], [16]). В этих работах фактически строится пространство периодических распределений и даются новые формулы обобщенного свертывания некоторых рядов.

Семинар Смирнова — Фихтенгольца определил влияние Банаха на творчество его участников. Соболев всю жизнь высоко ценил вклад Банаха в современную математику.

Встречи Соболева с Банахом

Соболев был связан с Банахом не только тем, что основные работы Соболева использовали банаховы пространства. Соболев и Банах неоднократно встречались во Львове, который вошел в состав УССР в начале Второй мировой войны по условиям пакта Молотова — Риббентропа. Встречи во Львове состоялись и в 1940 и в 1945 гг.

Жизненный и творческий путь Банаха прекрасно освещен его соотечественниками и коллегами; см., в частности, [17], [18]. Трагическая история Львовской математической школы, разгромленной в военные годы, освещена в [19]. Поэтому здесь будут отмечены некоторые малоизвестные подробности встреч Банаха и Соболева. После украинизации Львова Банах занял позиции декана физико-математического университета имени Ивана Франко, который был создан объединением Университета Яна Казимира, созданного польскими королем более трех веков назад в 1661 г., и политехнического университета.

Банах был обласкан новыми властями. ВАК СССР присудил Банаху степень доктора физико-математического наук и звание профессора (эти же отличия получили Мазур и Шаудер). Банах стал единственным поляком, занимавшим должность декана. Он возглавил новый отдел функционального анализа, созданный во Львове в рамках филиала Института математики АН УССР в Киеве. Банах неоднократно ездил в Москву и Киев. Любопытно, что в Москве он останавливался у П. С. Александрова. Непререкаем оставался авторитет Банаха в Польше. В 1939 г. он был избран Президентом Польского математического общества и сохранил эту позицию вплоть до своей безвременной кончины в 1945 г.

В 1940 г. во Львове побыли Соболев и П.С. Александров. Они много общались с Банахом и другими львовскими математиками. Отметились они и в знаменитой «Шотландской тетради». Соболев оставил задачу 188, за решение которой назначил бутылку вина (см. [20]).

В 1945 г. Соболев снова посетил Львов. Деталей этой встречи не сохранилось. Принято считать, что Соболев обсуждал с Банахом переезд в Москву. К сожалению, Банах уже был смертельно болен...

Эпитафия Банаху

В 1961 г. Польское математическое общество отмечало пятнадцатую годовщину кончины Банаха. Соболев принял участие в этом мероприятии. Его речь была записана и опубликована на польском языке8.

Вот перевод9 этой речи:

Литература

[1] В. И. Смирнов (ред.), Математика в Петебургском-Ленинградском Университете, Изд. ЛГУ, Ленинград, 1970.
[2] J. Lützen, The Prehistory of Distribution Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1982.
[3] K. Gottfried, P. A. M. Dirac and the discovery of quantum mechanics, American Journal of Physics, 79:3 (2011), 261–266.
[4] P. Dirac, The physical interpretation of the quantum dynamics, Proc. Roy. Soc., A, 113 (765) (1927), 621–641.
[5] D. Hilbert, J. von Neumann, and L. Nordheim, Über das Grundlagen der Quantenmechanik, Math. Ann., 98 (1927), 1–30; In: J. von Neumann, Collected Works, Vol. 1, Pergamon Press, London (1961), 104–133.
[6] J. von Neumann, Mathematische Begrundung der Quantenmechanik, Göttinger Nachr. (1927), 1–57.
[7] P. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford, Clarendon Press, 1930.
[8] П. Дирак, Принципы квантовой механики, М.-Л., ГТТИ, 1932.
[9] J. von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Berlin, Verlag von Julius Springer, 1932.
[10] Иоганн Фон Нейман, Математические основы квантовой механики, М., Наука, 1964.
[11] S. Banach, Théorie des Opérations Linéares, Warszawa, 1932.
[12] С. Л. Соболев, Общая теория диффракции волн на римановых поверхностях, Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, том 9 (1935), 39–105.
[13] С. Л. Соболев, Задача Коши в пространстве функционалов, Докл. АН СССР, 3:7 (1935), 291–294.
[14] С. Л. Соболев, Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales, Мат. сборник, 1:1 (1936) 39–70.
[15] Л. В Канторович, О некоторых общих методах расширения пространства Гильберта, Докл. АН СССР, 4:3 (1935), 115–118.
[16] Л. В. Канторович, Некоторые частные методы расширения пространства Гильберта, Докл. АН СССР, 4: 4–5 (1935), 163–167.
[17] R. Kaluza, The Life of Stefan Banach, Boston, Birkhäuser, 1996.
[18] K. Kuratowski, A Half Century of Polish Mathematics, Remembrances and Reflections, Pergamon Press, Oxford etc., 1980.
[19] R. Duda, Pearls from a Lost City. The Lvov School of Mathematics, American Mathematical Society, 2014.
[20] R. D. Mauldin (ed.), The Scottish Book. Mathematics from the Scottish Café, Boston, Birkhäuser, 1981.
[21] S. L. Sobolew, Przemówienie wygloszone na uroczystości ku uczczeniu pamieci Stefana Banacha, Roczn. Polsk. Towarz. Mat. Ser. 2. Wiadom. Mat., 4:3 (1961), 261–264.

С. Кутателадзе

4 июня 2017 г.


Примечания:

1О вкладе Дирака в квантовую механику см., например, [3].

2Cм. [4,p. 625].

3См. [7].

4См. [8].

5См. [9].

6Cм. [10,с. 10–11].

7См. [10,с. 29].

8См. [21].

9Выполнен бюро переводов «Прима Виста» в 2017 г.


File translated from TEX by TTH, version 4.08.
On 04 Jun 2017, 21:37.

Follow ssk_novosibirsk on Twitter Twitter
English Page Russian Page

© Кутателадзе С. С. 2017

Siberian Electronic Math. Reports, 2017, Vol. 14, A58–A65